Divisibilité et facteurs premiers - Corrigé

Énoncé

Parmi les propositions suivantes, $b$ est-il un diviseur de $a$ ?

1.  $a=2\times 5^2\times 7^3\times {11}^4$  et  $b=2\times 5\times 7^3\times {11}^2$  

2.  $a=2^3\times 3^2\times 7\times {11}^3\times 13$  et  $b=2\times 3\times 5\times {11}^2$  

3.  $a=2^3\times 3^5\times 5^7\times 7^{11}$  et  $b=3^3\times 5^5\times 7^7$   

Solution

1. On a :  $a=2\times 5^2\times 7^3\times {11}^4=(2\times 5\times 7^3\times {11}^2)\times 5\times {11}^2=b\times 5\times {11}^2$  donc $b$ est un diviseur de $a$ .

2. $b$ n'est pas un diviseur de $a$ , car $5$ divise $b$ mais ne divise pas $a$ .

3. On a :   $a=2^3\times 3^5\times 5^7\times 7^{11}=(3^3\times 5^5\times 7^7)\times 2^3\times 3^2\times 5^5\times 7^4=b\times 2^3\times 3^2\times 5^5\times 7^4$ donc $b$ est un diviseur de $a$ .