Divisibilité et facteurs premiers - Corrigé

Énoncé

Parmi les propositions suivantes, \(b\) est-il un diviseur de \(a\) ?

1.  \(a=2 \times 5^2 \times 7^3 \times 11^4\)  et  \(b=2 \times 5 \times 7^3 \times 11^2\)  

2.  \(a=2^3 \times 3^2 \times 7 \times 11^3 \times 13\)  et  \(b=2 \times 3 \times 5 \times 11^2\)  

3.  \(a=2^3 \times 3^5 \times 5^7 \times 7^{11}\)  et  \(b=3^3 \times 5^5 \times 7^7\)   

Solution

1. On a :  \(a=2 \times 5^2 \times 7^3 \times 11^4=(2 \times 5 \times 7^3 \times 11^2) \times 5 \times 11^2=b \times 5 \times 11^2\)  donc \(b\) est un diviseur de \(a\) .

2. \(b\) n'est pas un diviseur de \(a\) , car \(5\) divise \(b\) mais ne divise pas \(a\) .

3. On a :   \(a=2^3 \times 3^5 \times 5^7 \times 7^{11}=(3^3 \times 5^5 \times 7^7) \times 2^3 \times 3^2 \times 5^5 \times 7^4=b \times 2^3 \times 3^2 \times 5^5 \times 7^4\) donc \(b\) est un diviseur de \(a\) .